非线性耦合Harry-Dym方程的对称约化.pdf

上海理工大学学报
第38卷第1期
J. University of Shanghai for Science and Technology
ol.38No.12016
文章编号:1007-6735(2016)01-0008-05
DOI:10.13255/j.cnki,juss.2016.01,002
非线性耦合 Harry-Dym方程的对称约化
胡潇,胡恒春
(上:海理正大学理学院,上海200093)
摘要:借助符号计算软件 Maple将 Clarkson- Kruskal直接法应用于非线性耦合 Harry-Dym方程
中,运用相应规则得到对称变换并求得非线性耦合Hary-Dym方程的相似变量和相似解.通过选
取不同的特殊常数得到非线性耦合 Harry-Dym方程两种常微分形式的对称约化方程.利用约化方
程造了非线性耦合Hary-Dym方程可能的新严格解
关键词:对称约化; Clarkson- Kruskal直接法;非线性耦合 Harry-Dym方程
中图分类号:0175
文献标志码;A
Symmetry Reduction for the Nonlinear Coupled
Harry-dym Equation
HU Xiao, HU Hengchun
College ofscience, University of Shanghai for Science and Technolog, Shanghai200093, China)
Abstract: With the help of symbolic computation software Maple, the Clarkson-kruskal direc
method was developed for the nonlinear coupled Harry-dym equation, the similarity variables and
similarity solutions of the nonlinear coupled Harry-dym equation were obtained by the symmetry
transformation. Two forms of symmetric reduced eguation were obtained by selecting different
special contants. The exact solutions of the reduction equation were also constructed directly
Keywords: symmetry reactio; arkso-krskal direct method; nonlinear coupled Harry-
Dym equation
非线性系统,这些非线性系统可以描述流体力学、等
1问题的提出
离子物理学、非线性光学及环境科学等领域出現的
某些非线性现象.因此,对非线性系统的精确求解问
众所周知,孤立子理论是非线性科学的重要组题在理论上和应用上都具有重要的研究意义12
成部分.一般来说,孤立子理论的研究对象大多数是近年来,经过数学家和理论物理学家的不解努力,提
收稿日期:2014-10~24
基金项目:上海市自然科学基金资助项目(10ZR1420800):上海市重点学科建设项HI(XTKX2012):国家自然科学基金资助
项目(11071164、11201302)
第一作者:胡潇(1991-),女,硕土研究生.研究方向:孤立子理论与可积系统:E-mail.huxiaomath(163.com
通信作者:胡恒春(1976-),女,副教授,研究方向:狐立子理论与可积系统.E-mail:hengchun(g163.com
第1期
胡潇,等:非线性耦合 Harry-Dym方程的对称约化
9
出了许多行之有效的构造非线性系统精确解的方b. Bluman和Cole的非经典无穷小変换法2
法,如反散射方法、贝克隆变换法、tanh-coth展开方c. Clarkson和 Kruskal提出的CK直接法13-1
法、广田双线性法、分离变量法、达布变换法及李群
1989年 Clarkson和 Kruskal首次提出的CK直
方法等
接法是用来推导非线性偏微分方程的相似约化的直
由于非线性系统不满足解的线性叠加原理,人接方法,这是一种不涉及群论的直接约化方法
们很难求出它们所有的精确解因此,需要等求一些 Clarkson和 Kruskal用这种方法最先求解的是
简单的方法来简化复杂的非线性系统,使之转化为 Boussinesq方程,得出很多不同于用经典无穷小
低维的偏微分方程或常徴分方程,通过求解低维的变换和非经典无穷小变换方法求出的相似解.1990
偏微分方程或常微分方程,进而得出原来非线性系年Lou1完善了这种方法,并且推广到(2+1)维
统的精确解
KP方程中,获得了一些相似解.之后,这种方法被
本文主要研究非线性耦合Hary-Dym方程,简推广应用于方程组等其他一大批非线性方程11
称cHD方程,其形式为
2000年Lou提出了条件约化的概念?,并用直接
约化法的思想获得了(2+1)维KdV方程的6种新
(1)的条件相似约化,该条件相似约化不能由现有非古
20s+30g
典理论推得
对于非线性偏微分方程
式中,p为常数
P(2,a,2v,ん,…)=0
CHD模型在凝聚态物理学、流体动力学及光学直接寻找偏微分方程如下形式的相似解:
等领域有着广泛的应用.近年来,许多学者利用多种
a (a,t)=U(a, t, Cl6(, t)1
方法研究了cHD模型的可积性和精确解问题.Xu
式中,函数U,5待定
等阎、曹策问等们用Lax对非线性化方法分別证明
这是最一般的相似约化的形式.将式(3)代入式
了在位势与特征函数的 Bargmann约束下方程(1)
(2)中,要求结果是关于的低维偏微分方程或常
为 Liouville, Neumann完全可积的;之后,Chen微分方程附加条件与U,及它们的导数有关,而
等5?在此基础上又结合 Moser约東方法、一般
后能够进一步解出U,的具体形式
矩阵理论,由cHD孤子族导出了一些新的
对于一般低维对称性约化,可以选取
Neumann型有限维可积系统,并研究了Abel- Jacobi
2(0
)+β(x
黎曼曲面坐标下cHD孤子族的层次结构;Yang
以耦合非线性Hary-Dym方程为例,将CK直
等通过应用两种循环向量代数G3,Gs,得到了接法的步骤归纳如下:
cHD方程族双层形式的 Hamilton结构; Marciniak
a.设方程(1)具有对称变换
等从古典有限维 Stackel系统中构造出cHID方程
c(a,t)=g1+B1G(∈
族的层次结构,并得到一些多项式形式的隐式解;张
0(x,t)=a2+f2Q(
颖等?应用点李变换,引入非线性算子的 Frechet式中,a1,ae2,B1,B2,是关于,t的待定函数且G
导数讨论了方程(1)的对称性质,将方程(1)转化为Q是关于的偏微分方程;
三类常徽分方程组.本文将采用 Clarkson-kruskal
b.将对称变换方程(5)代入方程(1),整理化简
直接